Afkoeling van een messing buis in lucht

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

De drie hoofdvormen van warmtetransport zijn: - **Geleiding (conductie):** warmte door direct contact in/door een materiaal. - **Convectie:** warmte door stroming van een fluïdum (hier: lucht), natuurlijk of geforceerd. - **Straling:** warmtestraling (vooral infrarood) volgens een $T^4$-wet. (Eventueel kan **faseovergang** ook veel warmte transporteren, maar dat speelt hier niet echt mee.)

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

ex-dvopl We nemen als oplossing:

T(t)=T_0+(T(0)-T_0)e^{-t/\tau}.

(5)

Dan is de afgeleide:

\dot{T}(t)=\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-(T(0)-T_0)\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}.

(6)

Substitutie in vergelijking (eq:dv1) geeft:

-\tau\dot{T}(t)= -\tau\left[-(T(0)-T_0)\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}\right]=(T(0)-T_0)e^{-t/\tau}.

(7)

Maar dit is precies:

(T(0)-T_0)e^{-t/\tau} = T(t)-T_0.

(8)

Dus de oplossing voldoet aan (eq:dv1).

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(9)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(10)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Uit de differentiaalvergelijking

C\,\dot{T}=-hA(T-T_0)

(11)

volgt (delen door $C$ ):

\dot{T}= -\frac{hA}{C}(T-T_0).

(12)

Vergelijk dit met

\dot{T}= -\frac{1}{\tau}(T-T_0),

(13)

dan is

\tau = \frac{C}{hA}.

(14)

Voor de messing buis (gegeven):

$L=152\ \mathrm{mm}=0.152\ \mathrm{m}$
$D_\text{buiten}=50\ \mathrm{mm}=0.050\ \mathrm{m}$
$D_\text{binnen}=47\ \mathrm{mm}=0.047\ \mathrm{m}$

Buitenoppervlak (mantel, eindvlakken zijn klein t.o.v. de mantel):

A \approx \pi D_\text{buiten} L = \pi\,(0.050)(0.152) \approx 2.39\times 10^{-2}\ \mathrm{m^2}.

(15)

Volume messing:

V = \pi\left(R_o^2-R_i^2\right)L = \pi\left(0.025^2-0.0235^2\right)(0.152) \approx 3.47\times 10^{-5}\ \mathrm{m^3}.

(16)

Met typische waardes voor messing ( $\rho\approx 8500\ \mathrm{kg/m^3}$ en $c_p\approx 380\ \mathrm{J/(kg\,K)}$ ):

m\approx \rho V \approx 0.295\ \mathrm{kg},\qquad C\approx mc_p \approx 1.12\times 10^2\ \mathrm{J/K}.

(17)

Als $h$ van orde $\sim 10\ \mathrm{W/(m^2K)}$ (natuurlijke convectie in lucht), dan:

\tau \approx \frac{112}{10\cdot 0.0239} \approx 4.7\times 10^2\ \mathrm{s}.

(18)

Dat betekent dat in $\sim 220\ \mathrm{s}$ de temperatuur nog duidelijk boven kamertemperatuur zit (ongeveer wat we in de metingen zien).

ex_fout We hebben straling gelinieariseerd rond $T_0$ :

exact: $\dot{Q}_s = \epsilon\sigma A\left(T^4-T_0^4\right)$
lineair: $\dot{Q}_{s,\text{lin}} \approx \epsilon\sigma\,4AT_0^3\,(T-T_0)$

De relatieve fout (onafhankelijk van $\epsilon$ en $A$ ) is:

\text{rel. fout} = \frac{\dot{Q}_{s,\text{lin}}-\dot{Q}_s}{\dot{Q}_s}.

(19)

Neem $T_0\approx 20^\circ\mathrm{C}=293\ \mathrm{K}$ en het meetbereik grofweg $T\approx 45$ tot $60^\circ\mathrm{C}$ (318 tot $333\ \mathrm{K}$ ). Dan volgt:

bij $45^\circ\mathrm{C}$ : linearisatie onderschat straling met $\approx 12\%$
bij $60^\circ\mathrm{C}$ : onderschatting $\approx 18\%$

Dus in ons temperatuurbereik is de linearisatie-fout van de straling zelf van orde $\sim 10$ – $20\%$ .

Belangrijk: straling is maar een deel van de totale koeling. Een equivalente stralings-coëfficiënt is:

h_\text{rad} = \frac{\epsilon\sigma\left(T^4-T_0^4\right)}{T-T_0}.

(20)

Bij $T=60^\circ\mathrm{C}$ en $T_0=20^\circ\mathrm{C}$ is $h_\text{rad}\approx 0.7\,\epsilon\ \mathrm{W/(m^2K)}$ , dus voor $\epsilon\sim 0.1$ –0.3 is dit ongeveer 0.7– $2\ \mathrm{W/(m^2K)}$ (kleiner dan convectie, die meestal $\sim 10\ \mathrm{W/(m^2K)}$ is).

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

Voor de analyse is Newton-koeling gebruikt met

T(t)=A\,e^{-t/\tau}+T_\mathrm{omg},

(21)

waarbij ik $T_\mathrm{omg}=20\ ^\circ\mathrm{C}$ heb aangenomen (de meetreeks is te kort om $T_\mathrm{omg}$ betrouwbaar mee te fitten). De warmtecapaciteit van de buis is berekend uit de geometrie en typische materiaaleigenschappen van messing ( $\rho\approx 8500\ \mathrm{kg/m^3}$ en $c_p\approx 380\ \mathrm{J/(kg\,K)}$ ).

Met $\tau = C/(hA)$ volgt daaruit $h$ .

configuratie	$\tau$ (s)	$h$ (W/m $^2$ K)
verticaal zonder dop	460	10.2
verticaal met dop	440	10.7
horizontaal zonder dop	560	8.4
horizontaal met dop	430	10.9

De grafieken uit de codecel laten zien dat een exponentiële fit het verloop goed beschrijft in het gemeten tijdsinterval.

# Data inlezen + analyse van de afkoelcurves

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.optimize import curve_fit

# Data inlezen (Excel)
# In de Excel staan 4 kolommen met temperaturen (stapjes van 5 s).
# Kolommen:
#   0  : verticaal zonder dop
#   3  : verticaal met dop (dop bovenaan)
#   7  : horizontaal zonder dop
#   10 : horizontaal met dop

excel_file = "buizenproef.xlsx"

try:
    df = pd.read_excel(excel_file, header=None)
except FileNotFoundError:
    # Voor het geval je het notebook in een andere map runt:
    df = pd.read_excel("/mnt/data/buizenproef.xlsx", header=None)

configs = {
    "verticaal zonder dop": df[0].dropna().to_numpy(dtype=float),
    "verticaal met dop": df[3].dropna().to_numpy(dtype=float),
    "horizontaal zonder dop": df[7].dropna().to_numpy(dtype=float),
    "horizontaal met dop": df[10].dropna().to_numpy(dtype=float),
}

dt = 5.0  # s

# Buis-parameters (gegeven)
L = 152e-3          # m
u_L = 0.05e-3       # m (onzekerheid)
D_out = 50e-3       # m
D_in = 47e-3        # m

R_out = D_out / 2
R_in = D_in / 2

# Buitenoppervlak: vooral de mantel (eindvlakken zijn klein bij dunne wand)
buitenoppervlak = np.pi * D_out * L   # m^2

# Warmtecapaciteit C = m * c_p, met m = rho * V
V_messing = np.pi * (R_out**2 - R_in**2) * L

# Materiaaleigenschappen (typische waardes voor messing)
rho_messing = 8500       # kg/m^3
cp_messing = 380         # J/(kg K)

m_messing = rho_messing * V_messing
warmtecapaciteit = m_messing * cp_messing  # J/K

print(f"Buitenoppervlak A = {buitenoppervlak:.5f} m^2")
print(f"Massa messing m     = {m_messing:.3f} kg")
print(f"Warmtecapaciteit C  = {warmtecapaciteit:.1f} J/K")

# Model en fit
def exp_func_fixed_T0(t, A, tau, T_omg):
    return A * np.exp(-t / tau) + T_omg

# In het template stond T_omg als fit-parameter.
# In onze meting loopt de temperatuur in ~200 s nog niet naar kamertemperatuur toe,
# waardoor T_omg en tau samen 'meeschuiven' (niet goed identificeerbaar).
# Daarom neem ik T_omg als *aangenomen* kamertemperatuur:
T_omg = 20.0  # °C (aanname)

def exp_func(t, A, tau):
    return A * np.exp(-t / tau) + T_omg

results = []

for name, T in configs.items():
    t = np.arange(len(T)) * dt

    # begin-gok
    A0 = T[0] - T_omg
    tau0 = 450.0

    popt, pcov = curve_fit(exp_func, t, T, p0=[A0, tau0], maxfev=20000)
    A_fit, tau_fit = popt
    perr = np.sqrt(np.diag(pcov))
    A_err, tau_err = perr

    # Warmteoverdrachtscoëfficiënt uit tau = C/(hA)  =>  h = C/(tau*A)
    h = warmtecapaciteit / (tau_fit * buitenoppervlak)
    # Onzekerheid uit fit (systematische fouten zoals T_omg zijn niet meegenomen)
    h_err = h * (tau_err / tau_fit)

    results.append([name, len(T), T[0], T[-1], A_fit, A_err, tau_fit, tau_err, h, h_err])

res_df = pd.DataFrame(
    results,
    columns=[
        "configuratie", "N", "T_start (°C)", "T_eind (°C)",
        "A_fit (°C)", "σ_A (°C)",
        "tau (s)", "σ_tau (s)",
        "h (W/m²K)", "σ_h (W/m²K)"
    ]
)

res_df


# Plot: meting + fit per configuratie
for name, T in configs.items():
    t = np.arange(len(T)) * dt

    # opnieuw fitten om popt te pakken (of uit res_df halen)
    A_fit = float(res_df.loc[res_df["configuratie"] == name, "A_fit (°C)"].iloc[0])
    tau_fit = float(res_df.loc[res_df["configuratie"] == name, "tau (s)"].iloc[0])

    T_fit = exp_func(t, A_fit, tau_fit)

    plt.figure()
    plt.plot(t, T, "o", label="meting")
    plt.plot(t, T_fit, "-", label=f"fit: tau={tau_fit:.0f} s")
    plt.axhline(T_omg, linestyle="--", label=f"T_omg={T_omg:.1f} °C")
    plt.xlabel("t [s]")
    plt.ylabel("T [°C]")
    plt.title(name)
    plt.legend()
    plt.grid(True)
    plt.show()

# 5) Snelle check: orde van grootte
print("Orde van grootte check:")
for name in res_df["configuratie"]:
    tau = float(res_df.loc[res_df["configuratie"] == name, "tau (s)"].iloc[0])
    h = float(res_df.loc[res_df["configuratie"] == name, "h (W/m²K)"].iloc[0])
    print(f"- {name:22s}: tau = {tau:6.0f} s  ->  h ≈ {h:4.1f} W/m²K")

Buitenoppervlak A = 0.02388 m^2
Massa messing m     = 0.295 kg
Warmtecapaciteit C  = 112.2 J/K

Orde van grootte check:
- verticaal zonder dop  : tau =    460 s  ->  h ≈ 10.2 W/m²K
- verticaal met dop     : tau =    440 s  ->  h ≈ 10.7 W/m²K
- horizontaal zonder dop: tau =    559 s  ->  h ≈  8.4 W/m²K
- horizontaal met dop   : tau =    430 s  ->  h ≈ 10.9 W/m²K

Discussie en conclusie¶

Plausibiliteit van de uitkomsten¶

De gevonden warmteoverdrachtscoëfficiënten liggen rond $h\approx 8$ – $11\ \mathrm{W/(m^2K)}$ . Dat is een realistische orde van grootte voor natuurlijke convectie in lucht bij temperatuurverschillen van enkele tientallen graden.

Daarnaast draagt straling ook bij, maar naar schatting minder: bij $T\approx 60^\circ\mathrm{C}$ en $T_0\approx 20^\circ\mathrm{C}$ is $h_\text{rad}$ typisch van orde $\sim 0.7\epsilon\ \mathrm{W/(m^2K)}$ , dus zelfs bij $\epsilon\sim 0.3$ nog maar enkele W/(m $^2$ K). Convectie is dus waarschijnlijk dominant.

Invloed van oriëntatie en dop¶

Verticaal (dop bovenaan): met en zonder dop geven vrijwel dezelfde $\tau$ en $h$ . Dat suggereert dat de dop (in deze opstelling) de totale koeling niet sterk verandert, of dat eventuele stroming aan de binnenkant geen grote extra bijdrage levert t.o.v. de buitenkant.
Horizontaal: de meting zonder dop geeft een grotere $\tau$ (dus kleinere effectieve $h$ ). Dit kan komen doordat natuurlijke convectie niet exact een constante $h$ heeft: $h$ hangt zwak af van $\Delta T$ (typisch een macht), en deze meting startte ook op een lagere $T$ . Meetruis en kleine verschillen in startcondities spelen ook mee.

Kortom: in deze dataset is het effect van dop/orientatie niet heel groot en zit het waarschijnlijk in dezelfde orde als de meet- en modelonzekerheden.

Belangrijkste onzekerheden / verbeteringen¶

$T_\mathrm{omg}$ is niet gemeten. Omdat de meetduur kort is, kun je $T_\mathrm{omg}$ niet betrouwbaar mee-fittten. Het is beter om $T_\mathrm{omg}$ apart te meten en de meting langer door te laten lopen tot dicht bij $T_\mathrm{omg}$ .
$h$ is niet constant. In werkelijkheid hangt $h$ af van $\Delta T$ en van de stroming rond de buis (natuurlijke convectie).
Uniforme temperatuur aanname. We nemen aan dat de buis overal dezelfde temperatuur heeft (lumped capacitance). Bij messing is de warmtegeleiding groot, dus dit is redelijk, maar niet perfect.
Materiaalwaarden en emissiviteit. $\rho$ , $c_p$ en $\epsilon$ zijn niet gemeten maar uit typische waardes genomen.

Conclusie¶

Met Newton-koeling beschrijven de meetgegevens de afkoeling van de messing buis goed in het gemeten interval, met een karakteristieke tijd van orde enkele honderden seconden en een warmteoverdrachtscoëfficiënt van orde $10\ \mathrm{W/(m^2K)}$ .