Ballonproef: Volume van lucht bij (bijna) constante druk

Introductie¶

Volgens de ideale gaswet wordt het volume $V$ van een (ideaal) gas gegeven door:

V = n R T / P

(1)

waarin

$n$ het aantal mol gas,
$R$ de ideale gasconstante,
$T$ de absolute temperatuur,
$P$ de druk.

In dit practicum veranderen we de temperatuur en meten we de verandering van het volume van het gas. De proef is met name kwalitatief van aard en laat zien hoe lastig het is een extensieve grootheid als volume te meten.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Om het volume van een hoeveelheid gas bij constante druk te meten is niet zo eenvoudig. Je kunt het gas vrij eenvoudig in een ballon stoppen en dan schatten hoe de diameter van de ballon verandert als functie van de temperatuur, maar dat geeft een relatief grote fout (waarom?). We maken daarom gebruik van de wet van Archimedes.

Materialen¶

eenvoudige feestballon
bekerglas
tweede bekerglas om mee bij te vullen
thermometer
verhittingsplaat
deksel met vulcilinder met maatstrepen (met iets kleinere diameter dan interne diameter maatbeker)
(per 5 groepjes) een $10 \mathrm{ml}$ maatcilinder

Procedure¶

Blaas de ballon op, maar niet verder dan $5 \mathrm{cm}$ in diameter. Deze moet makkelijk in de maatbeker passen.
Knoop de ballon goed dicht zodat er geen lucht kan ontsnappen.
Dompel de ballon onder in de maatbeker met water met behulp van het deksel.
Pas het waterniveau aan zodat de meniscus (de bovenkant van het water) bij een van de onderste maatstrepen van de vulcilinder van het deksel zit.
Let op dat er luchtbellen kunnen plakken aan de ballon wat leidt tot een systematische fout. Verifieer dat je zo min mogelijk systematische fouten maakt en meet op welke maatstreep de meniscus zich bevindt.
Verhoog stapsgewijst de temperatuur van het water (en dus de ballon). Let op dat je de temperatuur maximaal een graad of 20 kan verhogen, want als je voorbij de vulcilinder komt met de meniscus, dan kan je de volumeverandering niet meer nauwkeurig bepalen.
Laat het geheel na elke temperatuurtoename een minuut ‘rusten’ om zo de tijd te geven om in thermisch evenwicht te komen.
Meet na elke temperatuurtoename de temperatuur en de positie van de meniscus.

Het verschiloppervlak tussen de binnendiameter van de maatbeker en de buitendiameter van de vulcilinder is $10.0 \mathrm{cm}^{2}$ . Je kunt die handmatig kalibreren met behulp van de kleine maatcilinder die in het lokaal aanwezig is. De maatstreepjes die op de vulcilinder zijn gekerfd zitten op een onderlinge afstand van $1.0 \mathrm{mm}$ .

Als je kritisch nadenkt over deze grafiek en de extrapolatie, dan kun je bezwaar maken tegen de precisie van deze proef. Het water in de maatbeker zet ook uit onder de verhoging van de temperatuur en geeft een systematische fout. Daar kun je een correctie voor uitvoeren. Voer die correctie uit als je nog genoeg tijd hebt:

Resultaten¶

We hebben bij verschillende standen van het verwarmingselement de temperatuur van de lucht in de ballon gemeten en daarbij het bijbehorende ballonvolume bepaald.

Omdat we in deze opstelling vooral volumeverandering meten, gebruiken we

\Delta V(T) = V(T) - V(T_0),

(2)

met $T_0$ de temperatuur van de eerste meting. Voor een ideaal gas bij constante druk geldt

V(T) = \frac{nR}{P}T \quad \Rightarrow \quad \Delta V(T) = a\,(T-T_0)=aT+b,

(3)

waarbij $a = \frac{nR}{P}$ en $b=-aT_0$ . Daarmee kunnen we het startvolume bij de eerste meting schatten als:

V(T_0)= -b.

(4)

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pathlib import Path

# Data: kolom 1 = stand verwarmingselement, kolom 2 = temperatuur [°C], kolom 3 = volume ballon [ml]
data_path = Path("ballonproef.xlsx")

df = pd.read_excel(data_path, header=None, names=["stand", "temp_C", "volume_ml"])
df = df.dropna(subset=["temp_C", "volume_ml"]).reset_index(drop=True)

temps_C = df["temp_C"].to_numpy(dtype=float)
temps_K = temps_C + 273.15  # absolute temperatuur [K]

V_ml = df["volume_ml"].to_numpy(dtype=float)  # 1 ml = 1 cm^3
dV_ml = V_ml - V_ml[0]  # volumeverandering t.o.v. de eerste meting

# Lineaire fit: dV = m*T + b
m, b = np.polyfit(temps_K, dV_ml, 1)
fit = np.poly1d([m, b])

V_start_ml = -b  # startvolume bij T0, uit extrapolatie naar 0 K

print("Lineaire fit: ΔV(T) = m·T + b")
print(f"m = {m:.3f} ml/K")
print(f"b = {b:.1f} ml")
print(f"Geschat startvolume V(T0) = -b = {V_start_ml:.1f} ml")

# maat voor de kwaliteit van de fit
dV_pred = fit(temps_K)
ss_res = np.sum((dV_ml - dV_pred) ** 2)
ss_tot = np.sum((dV_ml - np.mean(dV_ml)) ** 2)
r2 = 1 - ss_res / ss_tot
print(f"R² = {r2:.4f}")

# Plot: volumeverandering vs absolute temperatuur
plt.figure()
plt.plot(temps_K, dV_ml, "o", label="metingen")
plt.plot(temps_K, dV_pred, "--", label="lineaire fit")
plt.xlabel("Temperatuur [K]")
plt.ylabel("ΔV ballon [ml]")
plt.legend()
plt.tight_layout()
plt.show()

Lineaire fit: ΔV(T) = m·T + b
m = 2.175 ml/K
b = -636.3 ml
Geschat startvolume V(T0) = -b = 636.3 ml
R² = 0.9875

Loading...

Discussie en conclusie¶

Analyseer de data (opdracht)¶

De grafiek van $\Delta V$ tegen de absolute temperatuur $T$ is (binnen de meetonnauwkeurigheid) ongeveer lineair, wat past bij de ideale gaswet bij constante druk:

\Delta V(T)=aT+b.

(5)

Met de lineaire fit uit de code volgt:

helling $m \approx 2.175\ \mathrm{ml/K}$
intercept $b \approx -636.3\ \mathrm{ml}$
geschat startvolume:

V(T_0)= -b \approx 636.3\ \mathrm{ml}.

(6)

In woorden: door de lijn terug te extrapoleren naar $T=0\ \mathrm{K}$ (waar het ideale gasmodel $V\to 0$ zou voorspellen) kun je de constante offset bepalen, en daarmee het (geschatte) ballonvolume bij de eerste meting.

Belangrijkste foutbronnen¶

In dit practicum is “constante druk” slechts benaderd. De grootste bijdragen aan afwijkingen zijn meestal:

Ballonspanning: een ballon oefent extra (elastische) druk uit, waardoor $P$ niet echt constant is.
Thermisch evenwicht: temperatuur van water, ballonwand en lucht zijn niet altijd meteen gelijk.
Aflezing / resolutie: volume-aflezing (meniscus / schaal) en temperatuur hebben beide een beperkte resolutie.
Uitzetting van water en glas: het waterniveau verandert niet alleen door de ballon, maar ook doordat water én maatbeker uitzetten bij verwarmen. Dat geeft een systematische fout (bias) in $\Delta V$ .

Verbeterde meting (opdracht)¶

Met een tweede meetserie zonder ballon kun je de uitzetting van het water/beker apart bepalen:

\Delta V_\text{corr}(T)=\Delta V_\text{met\ ballon}(T)-\Delta V_\text{zonder\ ballon}(T).

(7)

Als je vervolgens opnieuw $\Delta V_\text{corr}$ tegen $T$ plot en fit, krijg je een betere schatting voor het startvolume $V(T_0)$ omdat je de systematische bijdrage van water/bekeruitzetting wegneemt.

Conclusie¶

De metingen laten zien dat het ballonvolume (en dus het gasvolume) toeneemt met de temperatuur, in lijn met het ideale-gasgedrag. Met een lineaire extrapolatie volgt een startvolume van ongeveer $\mathbf{636\ ml}$ , maar voor een nauwkeuriger resultaat is een correctie voor uitzetting van water en maatbeker (de “verbeterde meting”) sterk aan te raden.